Сергей Кузнецов - репетитор по математике


Выезд к ученикам в Московском и Фрунзенском р-не СПб.
Единая стоимость занятий — 1000 руб./60 мин.


Ц и В углы

Окружности и все, что с ними связано.

В школьном курсе геометрии эта тема в основном запоминается решением задач на центральные и вписанные углы. Основной упор в таких задачах делается на умении выделить на чертеже дуги, на которые опираются центральные или вписанные углы. Помня при этом, что градусная мера центрального угла равна градусной мере его дуги, а для вписанного угла градусная мера составляет половину от дуговой. Кроме того, в решении задач поможет знание того, что вся окружность составляет полный угол в 360 градусов. Вот, вроде, и все премудрости. Выделяй глазами дуги, смотри какие углы опираются на них, делай выводы…не слишком сложно.

Свойства вписанных углов

 

Свойства дуг окруж

Но в этой теме есть подводные камни, о которые, как я вижу на практике, очень многие ученики налетают…а все потому, что приведенные ниже закономерности проходят в школе вскользь и, как только попадаются задачи с похожими чертежами, в которых есть необходимость находить неизвестные величины, то ученики теряются и не знают, как подойти к решению. Давайте попытаемся разобраться. В начале основные моменты, которые я хотел бы напомнить:

Касательная

 

Углы и окружности

Уверен, что далеко не все знают/помнят о приведенных выше равенствах. Кстати, они выводятся на основании знаний о центральных и вписанных углах (о чем я писал в самом начале), а также о том, что сумма углов треугольника 180 градусов и на умении определять подобие треугольников (со всеми полезными выводами из этого).

Давайте вспомним еще кое-что по теме, что неплохо бы держать в голове, решая задачи, связанные с окружностями:

Вписанная окружность:

Впис окр

 

Описанная окружность:

Опис окр

В последней памятке стоит добавить, что суммы противолежащих углов произвольного четырехугольника не только должны быть равны между собой, но также и должны быть равны 180 градусов.

Ну и, конечно, надо держать в голове теорему синусов. В ней есть упоминание о радиусе описанной около треугольника окружности:

Теорема синусов:

Теорема синусов

Напоследок еще пара формул, которые могут быть применены для решения задач, связанных с окружностью:

Связь радиусов вписанной и описанной окружности с площадью треугольника:

Площадь треуг и радиусы

ну и, конечно, не забудем об этом:

Длина окружности (дуги окружности) и площадь круга (кругового сектора):

Длина окружности и площадь круга

Успехов в решении задач!