Сергей Кузнецов - репетитор по математике


Выезд к ученикам в Московском и Фрунзенском р-не СПб.
Единая стоимость занятий — 1000 руб./60 мин.


image12

Что такое функция?

 

Вопрос, конечно, интересный…) В школе термин «функция» употребляется сплошь и рядом и особых проблем не доставляет. До поры до времени. Как только с этими функциями начинается работа, вот тут и появляются вопросы, да… Бывает, функция так и остаётся монстром в тумане, с которым встречаться лишний раз не хочется. Но… Раз вы здесь, встретились, видимо…?)

Между тем, понятие функции является одним из главнейших во всей математике, науке, технике… Без этого понятия — никак. Вообще никак. Имеет смысл разобраться, правда? Тем более, что это достаточно просто. Если рискнуть, и… почитать.)

Начнём с представления о функции, затем освоим понятие функции. После этого определение функции окажется простым и вполне человеческим.

 

Представление о функции.

Ключевое слово в понятии функции — зависимость. Или — взаимосвязь. В повседневной жизни вы часто сталкиваетесь с функциональными зависимостями. И умело пользуетесь ими, да-да! Сомневаетесь? Тогда пара житейских примеров.

Допустим, вы идёте на встречу с приятелем. И чувствуете, что опаздываете. Что будете делать? Видимо, двигаться шустрее.) Вы твёрдо знаете: быстрей идёшь — меньше время на дорогу. Это общий закон. Время в пути зависит от скорости передвижения. Или, говоря более научно: время в пути есть функция скорости передвижения.

Ещё пример. Вы бросаете камешек в воду. На дальность. Разумеется, стараетесь швырнуть его посильнее. Вы знаете закон: дальность полёта зависит от силы броска. Другими словами: дальность полёта есть функция силы броска.

Вот вам и самое общее, житейское понятие о функции. Если какая-то величина А зависит от другой величины В, говорят, что величина А есть функция величины В. Зачем всё так трудно?! — слышу возмущённый вопрос. Ну зависит, и пусть зависит себе…

Конечно, камешек бросить и без функции можно. Но в обоих примерах есть незаметный, но оч-чень важный момент. Обратите внимание: зная закон зависимости, вы знаете, что нужно делать сейчас, чтобы получить нужный результат потом. Это не очень важно при бросании камешков. А если это не камешек, а ракета? Тогда очень желательно знать, куда она попадёт, да…) Причём, знать безошибочно! Ракета — не камешек, на берегу не валяется…

Оказывается, знание функциональных зависимостей позволяет просчитывать результат заранее. Заманчивые возможности, правда?)

В случае с ракетой, в любых технических (и не только!) применениях, люди просто обязаны просчитывать результат. Причём, безошибочно! Следовательно, на всякие взаимосвязи и зависимости требуется строгая математика. И она есть! Этот раздел математики называется «Математический анализ». Для студентов — просто «матан».) Элементы этого раздела — графики, функции, производные, интегралы — начинают осваивать ещё в школе.

Представление о функции — вещь полезная. Но, для строгой математики — недостаточная.

Двигаемся дальше.

 

Понятие функции.

Всяких величин в мире — колоссальное количество. И взаимосвязи между ними могут быть самые разнообразные. Но математика должна уметь работать со всеми… По одинаковым правилам. На то она и математика. Для начала, надо кратенько записать бесконечное множество существующих в мире взаимосвязей для бесконечного множества существующих в мире величин. Круто? А то!) Вот она, эта самая общая запись:

y = f (x)

Слева стоит буква игрек. Это и есть функция. Под этой буквой скрывается какая-то величина. Любая. Совсем любая. Это может быть время, температура, пройденный путь, сила тока, зарплата и всё, что угодно. Математике без разницы. Игрек, и всё тут. Игрек ещё называется зависимой переменной.

Справа мы видим х. Икс в скобочках. Под этой буквой тоже может скрываться любая величина. Икс на этом месте (в скобочках) называется независимой переменной. Есть ещё одно называние для икса. Он ещё называется аргумент.

И есть буква f. Под этой буквой скрываются все действия над иксом, какие можно только придумать. Не очень понятно, что это за действия? Читайте дальше, там подробненько будет…

Прошу отметить, что в этой записи важны не столько буквы, сколько скобочки.) Да-да! Именно скобочки показывают, что от чего зависит. Буквы могут быть и другие, например g, p, t, s и т.д. Но запись, например:

s = g(t)

означает, что s как-то зависит от t. В такой записи s — это функция (зависимая переменная), а t — аргумент(независимая переменная). Под буквой g скрываются какие-то действия, которые совершаются с аргументом t. Если же мы поменяем буквы местами, вот так:

t =g(s)

то поменяется и смысл записи. Функцией станет t, а аргументом — s.

 

Посмотрим на функцию в жизни?

Предположим, мы едем на автомобиле с какой-то средней скоростью 80 км/час. Далеко едем.) Смотрим на карту и прикидываем, где мы будем через два часа, через три… Мы знаем закон, что пройденный путь S равен скорости V, умноженной на время t.

S = V·t

Для нашей скорости 80 км/час:

S = 80·t

Т.е. через два часа мы проедем 80·2 = 160 километров, через три 80·3 = 240 километров… Элементарно, Ватсон!) Значит, между временем и расстоянием есть взаимосвязь. Значит, можно вспомнить понятие функции. Общая запись для функции:

y = f (x)

Под игреком в нашем случае скрывается путь S. Это зависимая переменная. Она может быть разная, (переменная же, не постоянная!) но зависит от времени.

Под иксом скрывается время t. Это независимая переменная. Потому, что мы её выбираем сами. Независимо ни от чего. Лично. Из головы, или из условия задачи. Хотим, возьмём время 3 часа. Хотим — 33. Хотим — семь часов и двенадцать минут… Функция всё равно сработает, как надо.

А вот путь S — какой уж получится. Для каждого времени — свой. Зависимость, понимаешь…)

Теперь вопрос на сообразительность. А что в нашей задаче скрывается под буквой f ? Не всех осеняет сразу…)

Под буковкой f скрывается действие — умножение на 80! Это как раз конкретный (наш!) закон, по которому наше время t превращается в путь S.

Можно, кстати, записать функцию, используя наши буквы:

S = f (t)

Это означает, что путь как-то зависит от времени. Это общая функция, для любого движения. А вот если мы запишем S = 80·t, это будет уже конкретная функция для наших конкретных условий.

 

Посмотрим на функции в алгебре?

В алгебре всё попроще будет. Но суть та же самая. Есть функция y, есть аргумент x и есть закон f, по которому xпревращается в y. Например, имеется функция:

у = 2х + 3

С иксом всё понятно. Он — независимая переменная. С игреком — тоже. Он — функция. А в чём заключается закон (или правило) f ? Да ничего особенного. Этот закон говорит нам: чтобы получить (посчитать) у для любого (какого хотим) х, надо этот икс умножить на два и прибавить к результату тройку. Вот игрек и получится.

Зачем я всё время занудно про это правило f повторяю?) Да затем, чтобы определение функции, которое будет ниже, не поставило вас навечно в тупик! Кроме того, осознание правила f само по себе позволяет решать некоторые элементарные задания. Например, классика:

Дана функция y = f(x), где f(x) = 5х+8. Найти f(2), f(0).

Читаем задание и соображаем. Ну, y = f(x), это самая общая запись всех функций, тут ничего не найдёшь. А вот дальше эта самая f(x) написана конкретно: f(x) = 5х+8. Указаны все действия над иксом: помножить на 5 и прибавить 8. Найти нужно f(2). Это означает, что над двойкой нужно сделать те же самые действия. Те же самые, потому, что в этом задании одна и та же буква f. Одно и то же правило и для икса, и для двойки.

Говоря школьным языком, надо тупо подставить вместо икса двойку и посчитать, что получится. )

Получится:

f(2) = 5·2+8 = 18

Вот и ответ: f(2)=18. Аналогично считается f(0). Подставляем вместо икса ноль, и считаем:

f(0) = 5·0+8 = 8

Как видим, если в выражении стоит икс, это — функция. А если подставляем вместо икса число, получаем значение функции именно для этого числа. Кстати сказать, это же самое задание может быть записано в более коротком виде. Вот так:

Дана функция y(x) = 5х+8. Найти y(2), y(0).

Здесь вообще нет выражения f(x). Но знающий человек видит, что конкретная функция уже дана. А выражениеy(2) означает те же действия, но не с иксом, а с двойкой. Потому, что в скобочках стоит двойка. Я же говорил, что главное здесь — скобочки!)

Возможно, кому-то это задание показалось неприлично примитивным. Ну, ладно. Вот задание посолиднее:

Дана функция y = f(x), где f(x) = 2х-1. Найти g(1), если g(х) = f(х2+1).

Если не понимать смысл обозначений, задание не решить, да… А если понимать — нет проблем! Нам надо найтиg(1). Для этого надо знать g(х). Иначе — никак. Что мы будем с единичкой делать, если неизвестно, что с ней делать?! Функция g(х) нам дана, но как-то хитро… Через другую функцию. Надо как-то найти эту самую f(х2+1). Но мы же умные, мы обозначения понимаем?) Что означает запись f(x) = 2х-1 ? Эта запись означает, что в этой функции х (он в скобочках) всегда умножается на 2 и от результата отнимается единичка.

Стало быть, если нужно найти f(х2+1), надо проделать те же самые действия, сработать по тому же правилу, но не с иксом, а с выражением х2+1. Т.е. вместо х подставить в функцию х2+1, да и посчитать результат. И все дела. Вот и пишем:

f(х2+1) = 2 · (х2+1)-1 = 2х2+2-1 = 2х2+1

Значит, g(х) = 2х2+1.

Здесь нужно сообразить, что в выражении g(х) буква g — это тоже правило действий над иксом. Как и f. Только действия эти другие. Именно поэтому и введены две буквы, f и g в этом задании, чтобы указать на разницу. Но смысл этих букв одинаков. Стало быть, чтобы найти g(1), надо в функцию g(х) вместо икса подставить единичку:

g(1) = 2 · 12+1 = 3

 

В этом уроке постоянно повторяются слова: зависимость, соответствие, связь, закон, правило…. Все эти термины объединяются в понятии функции. Главное, без чего нет функции, — это взаимосвязь каких-то переменных величин.

Кстати, эта взаимосвязь может быть дана и не формулой. Скажем, табличка, где каждому значению икса соответствует какое-то значение игрека — это тоже функция. Есть взаимосвзь — есть функция. Или график, где можно определить значение игрека для выбранного икса — тоже функция. Но о разных способах задания функции мы поговорим подробнее в другом уроке.

Здесь нужно просто понять, что работа с функциями (матанализ) изрядно отличается от работы с числами (арифметика) и буквами (алгебра). Хотя и не отменяет этих наук.

 

С какими функциями будем работать?

Ответ простой: с любыми.) Но все они будут числовыми и однозначными. Именно с такими функциями работает матанализ в школе и ВУЗе. Поясню смысл этих терминов. Это важно для выполнения некоторых заданий. И общего развития, да…

Под научным названием «числовые функции» скрывается простой смысл. Переменные величины в таких функциях могут принимать только числовые значения. Только числа. Вот и весь смысл.

Чтобы было понятнее, приведу примеры НЕ числовых функций. Скажем, настроение человека однозначно зависит от количества денег в потерянном кошельке, правда?) Есть зависимость, значит есть функция. Но, если аргумент (деньги) — вполне выражается числом, то выразить настроение в числах затруднительно…

Или, представим игру. Один человек называет любую гласную букву, другой в ответ обязан назвать любую согласную. Взаимосвязь налицо, функция есть. Но… НЕ числовая.

Думаю, с числовыми функциями всё понятно.

С однозначными функциями вопрос похитрее будет. Сам по себе смысл этого понятия прост. Любому значения аргумента, т.е. независимой переменной, соответствует единственное значение функции. Другими словами, какой икс не бери, из него получится один игрек. А не два, или 15. Элементарно, но на практике случаются непонятки.)

Скажем, в функции y=x2 для х=2 и х=-2 мы получим одинаковые значения y=4. Т.е. для двух разных иксов получается один игрек. Где однозначность!? Ничего страшного, она на месте. Дело в том, что, при расчёте для х=2, мы получили один игрек. И при расчёте с х=-2 мы получили один игрек. То, что они оказались одинаковые — не повод обвинять функцию в неоднозначности.)

А вот функция, скажем, y=±x будет неоднозначной. Захотим посчитать её значение, к примеру, для х=2… Получимy=±2. На один икс получили два игрека: y=+2 и y=-2. И с каким игреком работать!? Существует, конечно, понятие многозначной функции, но с такими вещами в матанализе не работают. Там проще поступают. Выражение y=±xразбивается на два: y=+x и y=-x. Каждое из этих выражений — вполне себе приличная функция. Вот и работаем с каждой по отдельности. Потом, если надо, как-то связываем результаты.

Кстати, игра в буквы, которую я придумал чуть выше, иллюстрирует понятие НЕ числовой и НЕ однозначной функции. Кошмар какой-то…

В матанализе НЕ числовые и (или) НЕ однозначные функции за функции не считаются.)

Надеюсь, с понятием функции всё более-менее ясно. Теперь можно въехать и в определение функции. А то, если с него начинать, функция навсегда монстром остаться может…)

 

Определение функции.

Наиболее популярное определение функции сводится к следующему:

Функцией называется правило f, по которому каждому элементу х множества Х ставится в соответствие единственный элемент у множества У.

Человеку, который не в теме, так просто не понять… Но вы-то уже в теме?)

Множество Х для числовых функций — это просто набор всех возможных значений икса. Элементом х называется любое конкретное число из этого множества. Про правило f я уже говорил, но… Так уж и быть, ещё раз.)

Для функции у = 2х + 3, например, Х — это множество всех чисел. Вообще всех. Элемент х — любое число. 5 — элемент, и 117 — элемент, и -0,34 — элемент.

А правило f — это действие над иксом. В данном случае правило гласит: «Умножить икс на два и к результату прибавить три». Каждому иксу соответствует (т.е. ставится в соответствие) свой игрек именно по этому правилу.

Ну, элемент у, понятно, это конкретное значение для конкретного икса. А множество У — это набор всех возможных значений игрека.

Замечу (на всякий случай), что данные буквы (х, Х, у, У, f) относятся к самой популярной записи функции: y = f(x). Но если будут другие буквы, смысл определения функции сохраняется.)

Вот и все дела. Иногда говорят ещё короче:

Функция есть закон отображения множества Х на множество У.

Суть та же. Только фраза «ставить в соответствие» заменена на понятие «отображать».

Бывает, в голове возникает некоторая путаница… Как так?! Всё время называем игрек функцией, работаем с ним, как с функцией, а в определении функции какое-то правило f прорезалось!?

Вношу ясность.

Дело в том, что функцией называется не только правило, но и сама зависимая переменная у. По той простой причине, что в записи конкретной функции именно игрек и показывает, что надо делать с иксом, показывает это самое правило f. Если, скажем, y=x2, правило — это возведение в квадрат. Если y=5x, правило — умножение на пять. Именно через игрек слова «возведение в квадрат», «умножение на пять» и т.д. переводятся в математическую запись. И никак иначе.

Поэтому игрек — и зависимая переменная, и функция (т.е. правило f). Одновременно.

Очень часто в определении функции присутствуют названия множеств Х и У. Множество Х — область определения функции, множество У — область значений функции. Это очень важные понятия.

Но, прежде всего, имеет смысл разобраться: какие же бывают эти самые правила f, о которых говорится в определении функции?

Способы задания функции.

Что означают слова «задать функцию»? Они означают: объяснить всем желающим, о какой конкретной функции идёт речь. Причём, объяснить чётко и однозначно!

Как это можно сделать? Как задать функцию?

Можно написать формулу. Можно нарисовать график. Можно составить табличку. Любой способ — это какое-то правило, по которому можно узнать значение игрека для выбранного нами значения икса. Т.е. «задать функцию», это значит — показать закон, правило, по которому икс превращается в игрек.

Обычно, в самых различных заданиях присутствуют уже готовые функции. Они нам уже заданы. Решай себе, да решай.) Но… Чаще всего школьники (да и студенты) работают с формулами. Привыкают, понимаешь… Так привыкают, что любой элементарный вопрос, относящийся к другому способу задания функции, тотчас огорчает человека…)

Во избежание подобных случаев, имеет смысл разобраться с разными способами задания функций. Ну и, конечно, применить эти знания к «хитрым» вопросам. Это достаточно просто. Если знаете, что такое функция… )

Поехали?)

 

Аналитический способ задания функции.

Самый универсальный и могучий способ. Функция, заданная аналитически, это функция, которая задана формулами. Собственно, это и есть всё объяснение.) Знакомые всем (хочется верить!)) функции, например: y = 2x, илиy = x2 и т.д. и т.п. заданы именно аналитически.

К слову сказать, не всякая формула может задавать функцию. Не в каждой формуле соблюдается жёсткое условие из определения функции. А именно — на каждый икс может быть только один игрек. Например, в формуле у = ±х, для одного значения х=2, получается два значения у: +2 и -2. Нельзя этой формулой задать однозначную функцию. А с многозначными функциями в этом разделе математики, в матанализе, не работают, как правило.

Чем хорош аналитический способ задания функции? Тем, что если у вас есть формула — вы знаете про функцию всё! Вы можете составить табличку. Построить график. Исследовать эту функцию по полной программе. Точно предсказать, где и как будет вести себя эта функция. Весь матанализ стоит именно на таком способе задания функций. Скажем, взять производную от таблицы крайне затруднительно…)

Аналитический способ достаточно привычен и проблем не создаёт. Разве что некоторые разновидности этого способа, с которыми сталкиваются студенты. Я про параметрическое и неявное задание функций.) Но такие функции — в специальном уроке.

Переходим к менее привычным способам задания функции.

 

Табличный способ задания функции.

Как следует из названия, этот способ представляет собой простую табличку. В этой таблице каждому иксу соответствует (ставится в соответствие) какое-то значение игрека. В первой строчке — значения аргумента. Во второй строчке — соответствующие им значения функции, например:
Таблица 1.

x — 3 — 1 0 2 3 4
y 5 2 — 4 — 1 6 5

Прошу обратить внимание! В данном примере игрек зависит от икса как попало. Я специально так придумал.) Нет никакой закономерности. Ничего страшного, так бывает. Значит, именно так я задал эту конкретную функцию. Именно так я установил правило, по которому икс превращается в игрек.

Можно составить другую табличку, в которой будет закономерность. Этой табличкой будет задана другая функция, например:
Таблица 2.

x — 3 — 1 0 2 3 4
y — 6 — 2 0 4 6 8

Уловили закономерность? Здесь все значения игрека получаются умножением икса на двойку. Вот и первый «хитрый» вопрос: можно ли функцию, заданную с помощью Таблицы 2, считать функцией у = 2х ?

Чем хорош табличный способ задания функции? Да тем, что считать ничего не надо. Всё уже посчитано и написано в таблице.) А более ничего хорошего нет. Мы не знаем значения функции для иксов, которых нет в таблице. В этом способе такие значения икса просто не существуют. Кстати, это подсказка к хитрому вопросу.) Мы не можем узнать, как ведёт себя функция за пределами таблицы. Ничего не можем. Да и наглядность в этом способе оставляет желать лучшего… Для наглядности хорош графический способ.

 

Графический способ задания функции.

В данном способе функция представлена графиком. По оси абсцисс откладывается аргумент (х), а по оси ординат — значение функции (у). По графику тоже можно выбрать любой х и найти соответствующее ему значение у. График может быть любой, но… не какой попало.) Мы работаем только с однозначными функциями. В определении такой функции чётко сказано: каждому х ставится в соответствие единственный у. Один игрек, а не два, или три… Для примера, график окружности.

Окружность, как окружность… Почему бы ей не быть графиком функции? А давайте найдем, какой игрек будет соответствовать значению икса? Иксу соответствует два значения игрека.

Это не функция

Это не функция

Стало быть, такой график не будет графическим заданием функции. На один икс приходится два игрека. Не соответствует этот график определению функции.

Но если условие однозначности выполнено, график может быть совершенно любым:

Это функция

Это функция

Графический способ хорош своей наглядностью. Сразу видно, как ведёт себя функция, где возрастает. где убывает. По графику сразу можно узнать некоторые важные характеристики функции. А уж в теме с производной, задания с графиками — сплошь и рядом!

Вообще, аналитический и графический способы задания функции идут рука об руку. Работа с формулой помогает построить график. А график частенько подсказывает решения, которые в формуле и не заметишь… Мы с графиками дружить будем.)

Почти любой ученик знает три способа задания функции, которые мы только что рассмотрели. Но на вопрос: «А четвёртый!?» — зависает основательно.)

Такой способ есть.

 

Словесное описание функции.

Да-да! Функцию можно вполне однозначно задать словами. Великий и могучий русский язык на многое способен!) Скажем, функцию у=2х можно задать следующим словесным описанием: каждому действительному значению аргумента х ставится в соответствие его удвоенное значение. Вот так! Правило установлено, функция задана.

Более того, словесно можно задать функцию, которую формулой задать крайне затруднительно, а то и невозможно. Например: каждому значению натурального аргумента х ставится в соответствие сумма цифр, из которых состоит значение х. Например, если х=3, то у=3. Если х=257, то у=2+5+7=14. И так далее. Формулой это записать проблематично. А вот табличку легко составить. И график построить. Кстати, график забавный получается… ) Попробуйте.

Способ словесного описания — способ достаточно экзотичный. Но иногда встречается. Здесь же я его привёл, чтобы придать вам уверенности в неожиданных и нестандартных ситуациях. Нужно просто понимать смысл слов «функция задана…» Вот он, этот смысл:

Если есть закон однозначного соответствия между х и у — значит, есть функция. Какой закон, в какой форме он выражен — формулой, табличкой, графиком, словами, песнями, плясками — сути дела не меняет. Этот закон позволяет по значению икса определить соответствующее значение игрека. Всё.

 

Область определения функции. 

В математике бесконечное множество функций. И у каждой — свой характер.) Для работы с самыми разнообразными функциями нужен единый подход. Иначе, какая же это математика?!) И такой подход есть!

При работе с любой функцией мы предъявляем ей стандартный набор вопросов. И первый, самый важный вопрос — это область определения функции. Иногда эту область называют множеством допустимых значений аргумента, областью задания функции и т.п.

Что такое область определения функции? Как её находить? Эти вопросы частенько представляются сложными и непонятными… Хотя, на самом деле, всё чрезвычайно просто. В чём вы сможете убедиться лично, прочитав эту страничку. Поехали?)

В элементарном понятии функции фигурируют две величины. Независимая переменная (аргумент) x и зависимая переменная (функция) y.

Так вот:

Все допустимые (разрешённые) значения аргумента x и есть область определения функции. И всё.

Достаточно разобраться в этой нехитрой фразе, как всё сразу становится на свои места.

Что такое «допустимые значения»? Говоря по-простому, это те значения икса, для которых можно посчитать игрек. В принципе. Например, дана функция:

y=3x-2

Можно посчитать игрек, скажем, для x=2? Легко! Получится y=4. А для x=1,2? Запросто. Получится y=1,6. Можно брать любое значение икса, целое, дробное, отрицательное, иррациональное — игрек всё равно посчитать можно.Точно, или приближённо, не суть важно. Нет никаких принципиальных запретов. Значит, для этой функции, все значения икса будут допустимыми. Значит, областью определения этой функции будут все действительные числа.

Разумеется, функция может быть такой замороченной, что и не посчитаешь ничего, да… Это не страшно. Нам ведь не считать надо, а область определения найти). Чуть ниже мы научимся легко и элегантно расправляться с любыми функциями. Даже самыми злыми.)

Слова «можно посчитать в принципе«, «принципиальные запреты» я не зря употребил. Вот вам другой простенький пример. Дана функция:

y=1/x

Идём по проторенной дорожке. Для x=1 можно посчитать игрек? Конечно. А для x=0? Опаньки… Нельзя на ноль делить. Нет такой операции в математике! На любые числа делить можно, а на ноль — нельзя. Принципиально нельзя. Вот значение x=0 и будет недопустимым для этой конкретной функции. Стало быть, областью определения этой конкретной функции будут все числа, кроме нуля.

Этот пример приведён чисто для понимания. Чтобы идею уловить. Разумеется, перебирать числа, задумчиво глядя на функцию, как-то глупо, да…) В математике так не делают. Правильный подход к области определения функции описан далее. Но сначала — одно важное замечание, чтобы потом не путаться.

Область определения любой функции устанавливают:

1. Математика. Это законы и правила, которые всегда должны выполняться. Эти правила не зависят от нашего желания и вида задания. Они работают всегда. Область определения по этим правилам иногда называют «естественной».

2. Люди. Это дополнительные ограничения на область определения функции, которые могут быть (а могут и не быть) в любом конкретном задании и зависят исключительно от составителя задания.

Самым важным является первый пункт. С него и начнём.

 

Как найти область определения функции?

Итак, нам надо найти все допустимые значения икса для какой-то конкретной функции. Самый широкий набор значений, как правило — это все действительные числа. От -∞ до +∞. Перебирать все возможные числа мы не будем, да…) В математике поступают по-другому. Работаем в два этапа.

На первом этапе ищем в функции операции, которые могут оказаться недопустимыми при каких-то значениях икса. Т.е. ищем потенциально опасные операции.

На втором этапе определяем иксы, которые не приводят к запретному действию в этих самых операциях. Это и будет область определения функции.

Если эти этапы не очень понятны, читаем дальше, на примерах всё куда яснее будет.

Что такое потенциально опасные операции? Это операции, в которых существуют принципиальные ограничения. Не пугайтесь, таких операций всего ничего и вы их прекрасно знаете). Перечисляю:

До 9-го класса включительно:

1. Деление. Нельзя делить на ноль.

2. Извлечение корня. Нельзя извлекать корни чётной степени из отрицательных чисел.

В выпускных классах и ВУЗах:

3. Логарифмы. Ограничения в логарифмах: если logab = c, то а>0, a1, b>0.

4. Тригонометрия. Ограничения в тригонометрии: значения углов, для которых тангенс и котангенс не существуют, ограничения на выражения под знаком арксинуса, арккосинуса.

Это, практически, весь набор потенциально опасных операций. Можно запомнить, правда?)

Вот и всё, что надо знать, чтобы найти область определения любой функции.

Теперь самое время применить эти знания в деле. Найдём область определения самой первой функции. Не перебором, а вполне научно):

y=3x-2

Первый этап. Ищем в этой функции потенциально опасные операции. Деление есть? Деления нет. Корни? Корней нет. Логарифмы? Нет их. И тригонометрии тоже нет. В этой функции не может получиться никаких запретных действий. Какой бы икс мы не взяли. Этих действий в функции просто не содержится. Значит, ответ: х — любое число.Записывается ответ так:

D(f)=(-∞;+∞)

D(f) — это обозначение области определения функции.

Как видите, в этом примере второй этап вовсе не понадобился. Бывает. Хорошая функция.)

Следующий пример:

y=1/x

Опять ищем потенциально опасные операции. Такая операция есть. Деление. Не забыли, что дробь — это деление?) Переходим ко второму этапу.

Определяем иксы, которые не приводят к запретному действию, т.е. делению на ноль. Собственно, к делению на ноль приводит лишь одно значение икса: x=0. Следовательно, все остальные значения безопасны. Областью определения функции будут все действительные числа, кроме нуля. В краткой записи:

D(f)=(-∞;0) (0; +∞)

Запись очень похожа на запись ответа для неравенств, правда? Всё верно. И там и здесь — запись промежутков числовой оси.

Это были совсем простые примеры. Для знакомства). Переходим к более солидным заданиям.

 

Найти область определения функции:

Что, внушает?) Ничего не боимся и работаем по схеме.

Выполняем первый этап: осматриваем функцию, на предмет потенциально опасных операций.

Внимание! Мы ничего не решаем! Не упрощаем, не складываем дроби, не раскладываем на множители, не извлекаем корни, ни-че-го! Мы именно осматриваем функцию. Любые преобразования могут изменить область определения функции и мы получим неверный ответ.

Сразу же выполняем и второй этап: то, что найдём в процессе осмотра, будем записывать, чтобы не забыть.)

Итак, в первом слагаемом видим квадратный корень из выражения с иксом. Это потенциально опасная операция. Под корнем, при каких-то иксах, может оказаться отрицательное число. Обезопасим себя вот такой записью (второй этап):

x2-8x+12 0

Уловили? Квадратный корень извлекается только из положительных чисел и нуля. Всё подкоренное выражение должно быть больше, либо равно нулю. Не икс, а всё подкоренное выражение, целиком. Прошу заметить: в этой записи уже нет знака корня! А то так и норовят его написать… Корень нам не нужен, нас интересует только подкоренное выражение. Так, с корнем разобрались, идём дальше.

В этом же слагаемом есть деление на 3. Игнорируем. Тройка — не икс, нулём стать не может.)

Второе слагаемое. В нём есть деление на выражение с иксом. Знаменатель (весь знаменатель, целиком!) не может быть равен нулю. Записываем (второй этап):

х-3 0

Так, соломки подстелили, идём дальше. В третьем слагаемом опять есть деление. Записываем:

х+1 0

Ну, всё, функция кончилась.) Теперь сводим все наши записи в систему неравенств:

Система необходима, так как все наши условия должны выполняться одновременно.

Осталось решить эту систему. В ответе получится как раз область определения этой функции. Ответ будет такой:

D(f)=(-∞ ; -1) (-1; 2] [6; +∞)

Как видим, функция может быть каким угодно монстром. Но в процессе осмотра и соответствующих записей мы получаем системку неравенств, которая вполне решаема.

Так поступаем при нахождении области определения любой функции.

Не знаете, как решать системы!? Ну, это вопрос не к функциям… Имейте в виду: задание как найти область определения функции почти всегда заканчивается решением системы неравенств… Как решать квадратные неравенства можно посмотреть по ссылке. Там, кстати, решено с пояснениями именно наше квадратное неравенство. Чисто случайно…)

Последовательный осмотр и запись системы неравенств обычно особого труда не составляют. Хуже, когда потенциально опасные операции ещё и наслаиваются друг на друга. Здесь требуется пристальное внимание, чтобы чего не упустить. Например:

 

Найти область определения функции:

На первом этапе замечаем квадратный корень. Сразу пишем условие для всего подкоренного выражения:

Так, квадратный корень обезопасили. Но двигаться дальше ещё рано. Внутри корня есть ещё две потенциально опасные операции! Логарифм и деление. Для логарифма записываем:

Для деления записываем:

Вот теперь первое слагаемое разобрано по косточкам. Можно двигаться дальше. Для тангенса нужно записать:

Вот и всё. Сводим все наши записи в систему:

Система получилась не самая простая. Так и функция — приличного уровня. Предполагается, что студенты, которые сталкиваются с подобными функциями, решать системы неравенств умеют.) В этом уроке главное — освоить, как задачу«найти область определения функции» свести к задаче «решить систему неравенств».

Повторю алгоритм ещё раз:

1. Работаем с исходной функцией! Ничего не упрощаем и не преобразовываем! Это всё делаем (если надо будет) после нахождения области определения.

2. Внимательно осматриваем функцию на предмет потенциально опасных операций.

3. В процессе осмотра записываем в систему неравенства, которые обеспечивают допустимость опасных операций.

4. Решаем систему неравенств и записываем ответ.

Самые внимательные, наверняка, почувствовали схожесть этого процесса с нахождением области допустимых значений (ОДЗ).

Ну, что тут сказать… Только респект.) Да! Естественная область определения функции (о которой здесь идёт речь) совпадает с ОДЗ выражений, входящих в функцию. Соответственно, и ищутся они по одним и тем же правилам.

А сейчас рассмотрим не совсем естественную область определения.)

 

 Дополнительные ограничения на область определения функции.

Здесь речь пойдёт об ограничениях, которые накладываются заданием. Т.е. в задании присутствуют какие-то дополнительные условия, которые придумал составитель. Или ограничения выплывают из самого способа задания функции.

Что касается ограничений в задании — тут всё просто. Обычно, и искать-то ничего не надо, всё в задании уже сказано. Напомню, что ограничения, написанные автором задания, никак не отменяют принципиальные ограничения математики. Нужно просто не забыть учесть условия задания.

Например, такое задание:

Найти область определения функции:

на множестве положительных чисел.

 

Естественную область определения этой функции мы нашли выше. Эта область:

D(f)=(-∞ ; -1) (-1; 2] [6; +∞)

А теперь учитываем дополнительные ограничения. Слова «на множестве положительных чисел» означают, что иксы могут быть только положительные. Вместо этих слов может быть задано условие «где x>0″, или «где х ∈ (0; +∞)».Если наложить это ограничение на ответ, получим новую область определения:

D(f)=(0; 2] [6; +∞)

Вот и все дела.

Всё предыдущее относилось к области определения аналитически заданных функций. Это самые популярные функции. Но существуют и другие способы задания функции. Они менее привычны и могут поставить в тупик. Во избежание таких фокусов, кратенько пробежимся по D(f) для функций, заданных НЕ аналитически.

В табличном способе областью определения функций будут только те значения икса, которые даны в таблице. Других иксов для такой функции просто не существует. Разумеется, если в задании будут дополнительные ограничения на D(f), их надо будет учесть. Но основным источником информации будет таблица.

В графическом способе основной источник информации — график. Его нужно уметь читать и знать, что означают всякие точки и кружочки на рисунке.)

Ни одной формулы нет, да… Только график. Вспоминаем, что область определения функции — это допустимые значения иксов. Вот и смотрим, для каких иксов существует нарисованная на графике функция?

В словесном способе задания функции нужно внимательно читать условие и находить там ограничения на иксы. Иногда глаза ищут формулы, а слова свистят мимо сознания да…) Пример из предыдущего урока:

Функция задана условием: каждому значению натурального аргумента х ставится в соответствие сумма цифр, из которых состоит значение х.

Здесь надо заметить, что речь идёт только о натуральных значениях икса. Тогда и D(f) мгновенно записывается:

D(f): х N

 

Как видите, область определения функции — не такое уж сложное понятие. Нахождение этой области сводится к осмотру функции, записи системы неравенств и решению этой системы. Конечно, системы бывают всякие, простые и сложные. Но…

Открою маленький секрет. Иногда функция, для которой надо найти область определения, выглядит просто устрашающе. Хочется побледнеть и заплакать.) Но стоит записать систему неравенств… И, вдруг, системка оказывается элементарной! Причём, частенько, чем ужаснее функция, тем проще система…

Мораль: глаза боятся, голова решает!)

 

Материал позаимствован с замечательного сайта: http://helpmatan.ru/index.php. Спасибо автору за понятное изложение материала!